Question

10．如图，四边形ABCD为正方形，AB⊥平面BCEF，G是EF的中点，BC∥EF，BC=CE=$\frac{1}{2}$EF．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACG；
（Ⅱ）求证：CG⊥平面ABE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出四边形ADEG为平行四边形，由此能证明DE∥平面ACG．
（Ⅱ）推导出AB⊥CG，从而四边形BCEG为菱形，由此能证明CG⊥平面ABE．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，AD=BC，
又BC∥EF，BC=$\frac{1}{2}$EF，∴AD∥EF，AD=$\frac{1}{2}$EF，
∵G是EF的中点，∴AD∥EG，且AD=EG，
∴四边形ADEG为平行四边形，
∴DE∥AG，
∵AG?平面ACG，DE?平面ACG，
∴DE∥平面ACG．
（Ⅱ）∵AB⊥平面BCEF，而CG?平面BCEF，
∴AB⊥CG，
∵BC∥EG，BC=EG，且BC=CE，
∴四边形BCEG为菱形，
∴BE⊥CG，
又AB∩BE=B，∴CG⊥平面ABE．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．