Question

【题目】如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，记，和的面积分别为和.

（1）当直线与轴重合时，若，求的值；

（2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）设出两个椭圆的方程，当直线与轴重合时，求出和的面积分和，直接由面积比列式求的值.

（2）假设存在与坐标轴不重合的直线，使得，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出和到直线的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的值存在讨论的取值范围.

由题意可设椭圆和的方程分别为

，，

其中，

（1）如图，若直线与轴重合，即直线的方程为

，

所以

在和的方程中分别令，

可得 于是

若则 化简得

由解得

故直线与轴重合时，若，则

（2）如图

在与坐标轴不重合的直线，使得，

根据对称性，不妨设直线 ，

点，，到直线的距离分别为，

则，，

所以，

又

，

所以即

由对称性可知

所以

于是①

将直线的方程分别与和的方程联立，

可求得

根据对称性可知

于是

，②

从而由①和②可得

，③

令，则由，

可得于是由③可得

因为 所以

于是③关于有解，当且仅当

等价于

由解得

即，由解得

所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线使得

当时，存在与坐标轴不重合的直线使得