Question

【题目】公元2019年，石室2160岁！文翁兴学2160周年纪念活动于2019年11月9日在石室中学文庙校区运动场隆重召开，会场是由一个长，宽的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆相接组成，整个会场关于中轴线对称，图形如下.

（1）若、两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，则、两位同学在圆弧什么位置时相距最远，距离为多少？并说明原因.

（2）在（1）问的情况下，若要在主会台后的会场边界上关于中轴线对称的两点、处分别放置两个音响，为了达到最好听觉效果，两个音响的距离要足够大，同时、两位同学听到两个音响传来的声音时间差不超过0.18秒，求音响距中轴线距离约为多少时为最佳放置点.（注：不超过0.18秒以秒计算，声音在空气中的传播速度为）.

Answer 1

【答案】（1）、两点分别在圆弧的中点，最远距离为；

（2）音响距中轴线距离约为时为最佳放置点；

【解析】

（1）分别取两半圆的圆心为。根据题意，利用三角形的性质可证出.

（2）以所在的直线为轴， 以中轴线为轴建立平面直角坐标系，求出，

利用双曲线的定义可得，设双曲线方程为，将点代入方程，从而求出，进而求出即可求解.

（1）分别取两半圆的圆心为

由题意可得

当四点共线时，、两点间的距离最大，

此时、两点分别在圆弧的中点，距离为

（2）以所在的直线为轴， 以中轴线为轴建立平面直角坐标系，

则 ，

根据题意可得,

、两点在以为焦点的双曲线上， ，即，

设双曲线方程为：，则，解得，

所以，解得，

即音响距中轴线距离约为时为最佳放置点.