Question

3．（1）若正数x，y满足x+3y=5xy，求3x+4y的最小值；
（2）已知a为正实数且a²+$\frac{b^2}{2}$=1，求a$\sqrt{1+{b^2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）将方程变形$\frac{1}{5y}+\frac{3}{5x}$=1，代入可得3x+4y=（3x+4y）（$\frac{1}{5y}+\frac{3}{5x}$）=$\frac{13}{5}$+$\frac{3x}{5y}$+$\frac{12y}{5x}$，然后利用基本不等式即可求解．
（2）由a²+$\frac{b^2}{2}$=1，得2a²+b²=2，2a²+b²+1=3≥2$\sqrt{2}$•a$\sqrt{1+{b^2}}$，即可得出结论．

解答 解：（1）∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0
∴$\frac{1}{5y}+\frac{3}{5x}$=1
∴3x+4y=（3x+4y）（$\frac{1}{5y}+\frac{3}{5x}$）=$\frac{13}{5}$+$\frac{3x}{5y}$+$\frac{12y}{5x}$≥$\frac{13}{5}$+2$\sqrt{\frac{3x}{5y}•\frac{12y}{5x}}$=5
当且仅当$\frac{3x}{5y}$=$\frac{12y}{5x}$，即x=2y=1时取等号，
∴3x+4y的最小值为5；
（2）∵a²+$\frac{b^2}{2}$=1，
∴2a²+b²=2，
∴2a²+b²+1=3≥2$\sqrt{2}$•a$\sqrt{1+{b^2}}$，
∴a$\sqrt{1+{b^2}}$≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴a$\sqrt{1+{b^2}}$的最大值$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑．