Question

13．设直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-2+2t}\end{array}\right.$，它与椭圆$\frac{4{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的交点为A和B，求线段AB的长．

Answer 1

分析 直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-2+2t}\end{array}\right.$，消去参数t化为普通方程：y=2x-4．代入椭圆可得：8x²-16x+7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答 解：直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-2+2t}\end{array}\right.$，消去参数t化为普通方程：y=2x-4．
代入椭圆$\frac{4{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得：8x²-16x+7=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{7}{8}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5×（4-4×\frac{7}{8}）}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．