Question

7．设p：|5x-1|＞a+b（a＞0，b＞0），q：$\frac{{x}^{2}-x+1}{2{x}^{2}-3x+1}$＞0
（1）构造的命题m：“若p则q”，请说明：选取a+b的某一个整数值，就使得所构造的命题m是一个真命题，而它的逆命题是一个假命题；
（2）设所有符合（1）的a+b值的集合为A，求A中的最小元素，并求取最小元素时a²b的最大值．

Answer 1

分析 （1）若所构造的命题m是一个真命题，而它的逆命题是一个假命题；则等价为p是q的充分不必要条件．
（2）根据条件得a+b=4，利用基本不等式进行求解即可．

解答 解：（1）由|5x-1|＞a+b（a＞0，b＞0），得5x-1＞a+b或5x-1＜-（a+b），
即x＞$\frac{a+b+1}{5}$或x＜$\frac{1-a-b}{5}$，（a＞0，b＞0），即p：x＞$\frac{a+b+1}{5}$或x＜$\frac{1-a-b}{5}$，
∵x²-x+1＞0恒成立，由$\frac{{x}^{2}-x+1}{2{x}^{2}-3x+1}$＞0得2x²-3x+1＞0，即x＞1或x＜$\frac{1}{2}$，即q：x＞1或x＜$\frac{1}{2}$，
若所构造的命题m是一个真命题，而它的逆命题是一个假命题，
则p是q的充分不必要条件，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+b+1}{5}≥1}\\{\frac{1-a-b}{5}≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b≥4}\\{a+b≥-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即a+b≥4．
（2）由（1）知符合（1）的a+b值的集合为A=[4，+∞），
即A中的最小元素为a+b=4，
即4=$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{2}$+b≥3$\root{3}{\frac{a}{2}•\frac{a}{2}b}$=3$\root{3}{\frac{{a}^{2}b}{4}}$，
即$\root{3}{\frac{{a}^{2}b}{4}}$≤$\frac{4}{3}$，$\frac{{a}^{2}b}{4}$≤（$\frac{4}{3}$）³=$\frac{64}{27}$，
即a²b≤$\frac{256}{27}$，当且仅当$\frac{a}{2}$=$\frac{a}{2}$=b=$\frac{4}{3}$时，取等号．
故a²b的最大值为$\frac{256}{27}$．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及基本不等式的应用，考查学生的运算和推理能力．