Question

【题目】如图1，四边形为直角梯形，，，，，，为线段上一点，满足，为的中点，现将梯形沿折叠（如图2），使平面平面.

（1）求证：平面平面；

（2）能否在线段上找到一点（端点除外）使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在点是线段的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为.

【解析】

（1）在直角梯形中，根据，，得为等边三角形，再由余弦定理求得，满足，得到，再根据平面平面，利用面面垂直的性质定理证明.

（2）建立空间直角坐标系：假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为，且，，求得平面的一个法向量，再利用线面角公式求解.

（1）证明：在直角梯形中，，，

因此为等边三角形，从而，又，

由余弦定理得：，

∴，即，且折叠后与位置关系不变，

又∵平面平面，且平面平面.

∴平面，∵平面，

∴平面平面.

（2）∵为等边三角形，为的中点，

∴，又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，

取的中点，连结，则，从而，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，则，

假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为，且，，

∵，∴，故，

∴，又，

该平面的法向量为，

，

令得，

∴，

解得或（舍），

综上可知，存在点是线段的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为.