【题目】已知函数.
(1)若,求函数
的最大值;
(2)令,讨论函数
的单调区间;
(3)若,正实数
满足
,证明:
【答案】(1)的最大值为
;(2)当
时,函数
的递增区间是
,无递减区间,当
时,函数
的递增区间是
,递减区间是
;(3)证明见解析.
【解析】
试题对于问题(1)根据条件先求出的值,再对
求导,并判断其单调性,进而得出函数
的最大值;对于问题(2),首先对
进行求导,然后再对参数
进行分类讨论,即可得出不同情况下的单调区间;对于问题(3)可通过构造函数并结合函数的单调性将问题进行等价转化,从而间接证明所需证明的结论.
试题解析:(1)因为,所以
,此时
,
,
由,得
,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,
故当时函数有极大值,也是最大值,所以
的最大值为
(2),
所以.
当时,因为
,所以
.
所以在
上是递增函数,
当时,
,
令,得
,所以当
时,
,当
时,
,
因此函数在
是增函数,在
是减函数.
综上,当时,函数
的递增区间是
,无递减区间;
当时,函数
的递增区间是
,递减区间是
(3)当,
.
由,即
,
从而
令,则由
得,
.
可知,在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以
,
所以,因为
,
因此成立
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程是
(
是参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,其倾斜角为
.
(Ⅰ)证明直线恒过定点
,并写出直线
的参数方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若直线与曲线
交于
,
两点,求
的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为
.
(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(2)直线l与圆C交于A,B两点,点P(2,1),求|PA||PB|的值.
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【题目】下列命题中,真命题是( )
A. 设,则
为实数的充要条件是
为共轭复数;
B. “直线与曲线C相切”是“直线
与曲线C只有一个公共点”的充分不必要条件;
C. “若两直线,则它们的斜率之积等于
”的逆命题;
D. 是R上的可导函数,“若
是
的极值点,则
”的否命题.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
与曲线
,(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线,
的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,已知与
,
的公共点分别为
,
,
,当
时,求
的值.
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【题目】已知椭圆的两个焦点
,
与短轴的一个端点构成一个等边三角形,且直线
与圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过椭圆的左顶点
的两条直线
,
分别交椭圆
于
,
两点,且
,求证:直线
过定点,并求出定点坐标.
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