【题目】已知定义在上的函数
,其中
,e为自然对数的底数.
(1)求证:有且只有一个极小值点;
(2)若不等式在
上恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)知,
递增,由
和
,根据零点存在定理则可证.
(2)由探求出
,转化为证明当
,
在
上恒成立,令
进一步转化为,再证明该不等式右边恒大于等于0即可.
(1)证明:由于,
,
则在
上单调递增.
令,则
,
故当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
则,即
.
由于,
,
故,使得
,且当
时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
因此在
有且只有一个极小值点
,无极大值点.
(2)解:由于不等式在
上恒成立,
(i)必要性,当时,不等式成立,即
,
令,
,
由于,则
在
上单调递增,
又由于,则
的解为
,
(ii)充分性,下面证明当时,
在
上恒成立,
令,
由于,
,
,
,
则,
令,则
,
故,
在
上单调递增.
由于,则当
时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
故,即
恒成立,
因此,当时,
在
上恒成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(
是自然对数的底数,
).
(1)求函数的图象在
处的切线方程;
(2)若函数在区间
上单调递增,求实数
的取值范围;
(3)若函数在区间
上有两个极值点
,且
恒成立,求满足条件的
的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺,当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴,并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后,防护服产量将增加到
(万件),其中k为工厂工人的复工率
,A公司生产t万件防护服还需投入成本
(万元).
(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数;
(2)对任意的(万元),当复工率k达到多少时,A公司才能不产生亏损?(精确到0.01)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的焦距为2c,过C外一点P(c,2c)作线段PF1,PF2分别交椭圆C于点A、B,若|PA|=|AF1|,则
_____.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知A是抛物线E:y2=2px(p>0)上的一点,以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=1于M,N两点.
(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程;
(2)若0<p<1,抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P,Q,点G为PQ的中点,O为坐标原点,求直线OG斜率的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X的均值和方差.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作,
中,
,点
,点
,且其“欧拉线”与圆
相切,则该圆的直径为( )
A.1B.C.2D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛,根据比赛规则,某中学选拔出8名同学组成参赛队,其中初中学部选出的3名同学有2名女生;高中学部选出的5名同学有3名女生,竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛.
(Ⅰ)设“选出的4人中恰有2名女生,而且这2名女生来自同一个学部”为事件,求事件
的概率
;
(Ⅱ)设为选出的4人中女生的人数,求随机变量
的分布列和数学期望.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com