【题目】已知函数(是自然对数的底数,).
(1)求函数的图象在处的切线方程;
(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;
(3)若函数在区间上有两个极值点,且恒成立,求满足条件的的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)利用导数的几何意义计算即可;
(2)在上恒成立,只需,注意到;
(3)在上有两根,令,求导可得在上单调递减,在上单调递增,所以且,,,求出的范围即可.
(1)因为,所以,
当时,,
所以切线方程为,即.
(2),.
因为函数在区间上单调递增,所以,且恒成立,
即,
所以,即,又,
故,所以实数的取值范围是.
(3).
因为函数在区间上有两个极值点,
所以方程在上有两不等实根,即.
令,则,由,得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,解得且.
又由,所以,
且当和时,单调递增,
当时,单调递减,是极值点,
此时
令,则,
所以在上单调递减,所以.
因为恒成立,所以.
若,取,则,
所以.
令,则,.
当时,;当时,.
所以,
所以在上单调递增,所以,
即存在使得,不合题意.
满足条件的的最小值为-4.
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【题目】设椭圆:的左、右焦点分别为,,下顶点为,椭圆的离心率是,的面积是.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于,两点(异于点),若直线与直线的斜率之和为1,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】已知若椭圆:()交轴于,两点,点是椭圆上异于,的任意一点,直线,分别交轴于点,,则为定值.
(1)若将双曲线与椭圆类比,试写出类比得到的命题;
(2)判定(1)类比得到命题的真假,请说明理由.
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【题目】管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具,现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁,其纵截面如图2所示,一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置(图中给出的数据是圆管内壁直径大小,).
(1)请用角表示清洁棒的长;
(2)若想让清洁棒通过该弯头,清洁下一段圆管,求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.
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【题目】如图,正方形是某城市的一个区域的示意图,阴影部分为街道,各相邻的两红绿灯之间的距离相等,处为红绿灯路口,红绿灯统一设置如下:先直行绿灯30秒,再左转绿灯30秒,然后是红灯1分钟,右转不受红绿灯影响,这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处(不考虑处的红绿灯),出发时的两条路线()等可能选择,且总是走最近路线.
(1)请问小明上学的路线有多少种不同可能?
(2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下,小明优先直行,求小明骑行途中恰好经过处,且全程不等红绿灯的概率;
(3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值,为小明设计一条最佳的上学路线,且应尽量避开哪条路线?
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(是参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,其倾斜角为.
(Ⅰ)证明直线恒过定点,并写出直线的参数方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若直线与曲线交于,两点,求的值.
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【题目】已知函数
(1)若函数在区间上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若函数在区间上有两个极值点,求实数a的取值范围;
(3)若函数的导函数的图象与函数图象有两个不同的交点,求实数a的取值范围.
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