【题目】已知函数在
处的切线方程为
.
(1)求实数及
的值;
(2)若有两个极值点
,
,求
的取值范围并证明
.
【答案】(1),
;(2)
,见解析.
【解析】
(1)根据导数的几何意义即可求出,再利用切点既在函数
图象上也在切线上,可得
,即可求出
的值;
(2)有两个极值点
,
,问题转化为
,即
有两个不相等的正实根,对
分为
,
讨论,对
时再结合判别式及对称轴再分为
和
,即可求出
的取值范围;而
,利用根与系数的关系求出
,
,代入即可得到答案.
(1),由已知得
,故
,所以
,
,
,解得
.
(2)由(1)可知,所以
,
,
当时,
,
在
上为增函数,
没有极值点,
当时,令
,其对称轴方程为
,
,
①若时,
,此时
且不恒为零,
在
上为减函数,
没有极值点.
②若时,
,由
,即
,
则的两根为
,
不妨设
,
由,
,
,故
极小值 | 极大值 |
综上可知:求的取值范围是
.
此时,
,所以
,
由,得
,故
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【题目】已知方程表示的曲线为
的图象,对于函数
有如下结论:①
在
上单调递减;②函数
至少存在一个零点;③
的最大值为
;④若函数
和
图象关于原点对称,则
由方程
所确定;则正确命题序号为( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
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【题目】设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足:对任意的n∈N*,都有an+1+Sn+1=1,又a1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=log2an,求(n∈N*)
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【题目】下列四个结论:
①在回归分析模型中,残差平方和越大,说明模型的拟合效果越好;
②某学校有男教师60名、女教师40名,为了解教师的体育爱好情况,在全体教师中抽取20名调查,则宜采用的抽样方法是分层抽样;
③线性相关系数越大,两个变量的线性相关性越弱;反之,线性相关性越强;
④在回归方程中,当解释变量
每增加一个单位时,预报变量
增加0.5个单位.
其中正确的结论是( )
A. ①②B. ①④
C. ②③D. ②④
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【题目】已知定点,
,直线
、
相交于点
,且它们的斜率之积为
,记动点
的轨迹为曲线
。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线
交于
、
两点,是否存在定点
,使得直线
与
斜率之积为定值,若存在,求出
坐标;若不存在,请说明理由。
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形,AB=,BC=1,E,F分别是AB,PC的中点,DE⊥PA.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PAC⊥平面PDE.
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【题目】已知函数(
是自然对数的底数,
).
(1)求函数的图象在
处的切线方程;
(2)若函数在区间
上单调递增,求实数
的取值范围;
(3)若函数在区间
上有两个极值点
,且
恒成立,求满足条件的
的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).
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【题目】新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺,当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴,并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后,防护服产量将增加到
(万件),其中k为工厂工人的复工率
,A公司生产t万件防护服还需投入成本
(万元).
(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数;
(2)对任意的(万元),当复工率k达到多少时,A公司才能不产生亏损?(精确到0.01)
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