Question

【题目】已知椭圆：经过点，右焦点到直线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）定义为，两点所在直线的斜率，若四边形为椭圆的内接四边形，且，相交于原点，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据题意易得和，解出方程组即可得椭圆的标准方程；

（2）设，，易得，直线的方程为，与椭圆方程联立与韦达定理相结合可得，根据对称性知，的斜率一个是，另一个就是，故而可得结果.

（1）解：设椭圆：的半焦距为，

因为椭圆：经过点，

所以，即，

因为椭圆的右焦点到的距离为，所以.

再由解得，，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）证明：设，，

因为，所以，所以.

设直线的方程为，

联立，得，

∴，

，

∵，又，

∴，

∴.

整理得，∴.

∵，，，可以轮换，

∴，的斜率一个是，另一个就是，

∴