Question

8．如图（1）所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图（2）所示，求这个正六棱柱容器容积最大值．

Answer 1

分析 要求正六棱柱容器的容积最大，得需要得出容积表达式；由柱体的体积公式知，底面积是正六边形，是六个全等小正△的和，高是Rt△中60°角所对的直角边，由高和底面积得出容积函数，用求导法可以求出最大值时的自变量取值．

解答 解：如图示：
，
设底面六边形的边长为x，高为d，则
d=$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2}$（1-x）； 又底面六边形的面积为：
S=6•$\frac{1}{2}$•x²•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x²；所以，这个正六棱柱容器的容积为：
V=Sd=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x²•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-x）=$\frac{9}{4}$（x²-x³），则对V求导，则
V′=$\frac{9}{4}$（2x-3x²），令V′=0，得x=0或x=$\frac{2}{3}$，
当0＜x＜$\frac{2}{3}$时，V′＞0，V是增函数；当x＞$\frac{2}{3}$时，V′＜0，V是减函数；
∴x=$\frac{2}{3}$时，V有最大值，最大值是：$\frac{1}{3}$．

点评 本题通过建立体积函数表达式，由求导的方法求函数最大值，是比较常用的解题思路，也是中学数学的重要内容．