Question

17．在边长为1的正三角形ABC中，已知$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow b$，点E线段AB的中点，点F线段BC上，$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$．
（1）以$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为基底表示$\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{CE}$；
（2）求$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}$．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的基本定理进行化简即可，
（2）根据向量数量积的应用进行化简即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$；
$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）=$-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$；
即$\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow a+\frac{1}{3}\overrightarrow b，\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow a+\frac{1}{2}\overrightarrow b$；
（2）$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}$=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$）•（-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$）=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$²+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$²=-$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{6}$=-$\frac{1}{2}$，
即$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}=-\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查平面向量的基本定理的应用以及向量数量积的应用，比较基础．