Question

16．已知$\overrightarrow a、\overrightarrow b$是非零向量且满足（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，（$\overrightarrow b$-2$\overrightarrow a$）⊥$\overrightarrow b$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 根据向量垂直的关系转化为向量数量积为0，结合向量数量积的应用进行求解即可．

解答 解：∵（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，（$\overrightarrow b$-2$\overrightarrow a$）⊥$\overrightarrow b$，
∴（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=0，（$\overrightarrow b$-2$\overrightarrow a$）•$\overrightarrow b$=0，
即$\overrightarrow a$²-2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，$\overrightarrow b$²-2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
即$\overrightarrow a$²=2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，$\overrightarrow b$²=2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，
则|$\overrightarrow a$|=$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，
则cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}=\frac{1}{2}$，
即＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=60°，
故选：B

点评 本题主要考查向量夹角的计算，根据向量垂直以及向量夹角与向量数量积的关系是解决本题的关键．