Question

已知函数f(x)=

a(1-x)

x

+lnx  (a∈R)．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若1＜x＜2，求证：

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用导数来求，先求函数的导数，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．因为含参数a，所以做题时对参数进行讨论．
（2）先把要证的不等式化简为（x+1）lnx-2（x-1）＞0，再把左边看做一个函数，只需用导数判断该函数的单调性，利用单调性比较大小即可．

解答：解（1）f（x）的定义域为（0，+∞）
 f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(x＞0)
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增
②若，1°当0＜x＜a时，f'（x）＜0，f（x）在（0，a）上单调递减
2°当x＞a时，f'（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增
（2）∵1＜x＜2，∴

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

?（x+1）lnx-2（x-1）＞0
令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1）
 则F′(x)=lnx+

x+1

x

-2=lnx+

1

x

-1
由（1）知，当a=1时，[f（x）]_min=f（1）=0∴f（x）≥f（1）=0，即F'（x）≥0，F（x）在上为单调递增，，即

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

点评：本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，以及证明不等式．