Question

【题目】甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另一队当裁判，每局比赛结束时，负方在下一局当裁判．设各局比赛双方获胜的概率均为 ，各局比赛结果相互独立，且没有平局，根据抽签结果第一局甲队当裁判
（1）求第四局甲队当裁判的概率；
（2）用X表示前四局中乙队当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：第一局无论谁输，第二局都由甲队上场，第四局甲队当裁判（记为事件A），

第三局甲队参加比赛（不能当裁判）且输掉（记为事件A2），可知第二局甲队参加比赛且获胜（记为事件A1），

∴A1和A2都发生，A才发生，即P（A）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）= ．

（2）解：由题意S的所有可能取值为0，1，2，

记“第三局乙丙比赛，乙胜丙”为事件A3，“第一局比赛，乙胜丙”为事件B1，

“第二局乙甲比赛，乙胜甲”为事件B2，“第三局比赛乙参加比赛，乙负”为事件B3，

∴P（X=0）=P（B1B2A3）=P（B1）P（B2）P（A3）= ，

P（X=2）=P（ ）=P（ ）P（B3）= ，

P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）= ，

∴X的分布列为：

X	0	1	2
P

∴E（X）= = ．

【解析】（1）第一局无论谁输，第二局都由甲队上场，第四局甲队当裁判（记为事件A），第三局甲队参加比赛（不能当裁判）且输掉（记为事件A2），可知第二局甲队参加比赛且获胜（记为事件A1），A1和A2都发生，A才发生，由此能求出第四局甲队当裁判的概率．（2）由题意S的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．