Question

【题目】二次函数f（x）的对称轴是x=-1，f（x）在R上的最小值是0，且f（1）=4．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若g（x）=（λ-1）f（x-1）-λx-3在x∈[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或1＜λ≤2

【解析】

（1）由已知可设f（x）=a（x+1）2，结婚f（a）=4可求a，进而可求f（x），（2）由（1）可求g（x），然后结合二次函数的性质，考虑开口方向及对称轴与区间[-1，1]的位置关系进行分类讨论可求．

（1）二次函数f（x）的对称轴是x=-1，f（x）在R上的最小值是0，

故可设f（x）=a（x+1）2，

∵f（-1）=4a=4

∴a=1，f（x）=（x+1）2

（2）∵g（x）=（λ-1）f（x-1）-λx-3=（λ-1）x2-λx-3，

①λ=1时，g（x）=-x-3在[-1，1]上是减函数，舍去，

②λ＞1时，g（x）=（λ-1）x2-λx-3x∈[-1，1]上是增函数，

则，

解可得，1＜λ≤2；

③λ＜1时，g（x）=（λ-1）x2-λx-3x∈[-1，1]上是增函数，

则，

解可得，，

综上可得，或1＜λ≤2