Question

【题目】已知函数f（x）=（x∈（-1，1）），有下列结论：

（1）x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；

（2）m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实数根；

（3）x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；

（4）存在无数多个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有三个零点

则其中正确结论的序号为______．

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）

【解析】

（1）根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可；

（2）先判断函数|f（x）|是偶函数，令m=0可判断结论错误；

（3）根据分式函数的性质及复合函数的单调性，可判断结论正确；

（4）先判断函数g（x）是奇函数，由函数的表达式可知x=0是它的一个零点，然后讨论当x∈（0，1）时，函数一定存在一个零点（），再由奇函数的性质可知，当x∈（-1，0）时，一定存在另一个零点（），可判断结论正确。

（1）因为f（x）=（x∈（-1，1）），

所以f（-x）=

即函数为奇函数，

所以f（-x）+f（x）=0在x∈（-1，1）恒成立．所以（1）正确；

（2）因为f（x）=（x∈（-1，1））为奇函数，

所以|f（x）|为偶函数，

当x=0时，|f（0）|=0，

所以当m=0时，方程|f（x）|=m只有一个实根，不满足题意，所以（2）错误．

（3）当x∈[0，1）时，f（x）=，

令，x∈[0，1），则t∈(0，1]，

因为函数在区间[0，1）单调递减，

而函数，在区间(0，1]单调递减，

所以函数f（x）=，在区间[0，1）单调递增。

故x∈[0，1）时，f（x）f（0）=0，

因为函数f（x）在（-1，1）上是奇函数，

所以当x∈[-1，0）时，f（x）单调递增，且f（x）f（0）=0，

综上可知，函数f（x）=在（-1，1）上单调递增，

即x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）成立，故（3）正确.

（4）由g（x）=f（x）-kx=0，即，

当x=0时，显然成立，即x=0是函数的一个零点，

当x∈（0，1）时，，解得，令，解得

即（）是函数的一个零点，

由于g（-x）= f（-x）+kx=- f（x）+kx=-（f（x）-kx）=- g（x），

即g（x）是（-1，1）上的奇函数，

故在区间（-1，0）上一定存在（）是函数的另一个零点，

所以（4）正确

故（1），（3），（4）正确．

故答案为：（1），（3），（4）