【题目】已知函数f(x)=(x∈(-1,1)),有下列结论:
(1)x∈(-1,1),等式f(-x)+f(x)=0恒成立;
(2)m∈[0,+∞),方程|f(x)|=m有两个不等实数根;
(3)x1,x2∈(-1,1),若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
(4)存在无数多个实数k,使得函数g(x)=f(x)-kx在(-1,1)上有三个零点
则其中正确结论的序号为______.
【答案】(1)(3)(4)
【解析】
(1)根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可;
(2)先判断函数|f(x)|是偶函数,令m=0可判断结论错误;
(3)根据分式函数的性质及复合函数的单调性,可判断结论正确;
(4)先判断函数g(x)是奇函数,由函数的表达式可知x=0是它的一个零点,然后讨论当x∈(0,1)时,函数一定存在一个零点(
),再由奇函数的性质可知,当x∈(-1,0)时,一定存在另一个零点
(
),可判断结论正确。
(1)因为f(x)=(x∈(-1,1)),
所以f(-x)=
即函数为奇函数,
所以f(-x)+f(x)=0在x∈(-1,1)恒成立.所以(1)正确;
(2)因为f(x)=(x∈(-1,1))为奇函数,
所以|f(x)|为偶函数,
当x=0时,|f(0)|=0,
所以当m=0时,方程|f(x)|=m只有一个实根,不满足题意,所以(2)错误.
(3)当x∈[0,1)时,f(x)=,
令,x∈[0,1),则t∈(0,1],
因为函数在区间[0,1)单调递减,
而函数,在区间(0,1]单调递减,
所以函数f(x)=,在区间[0,1)单调递增。
故x∈[0,1)时,f(x)f(0)=0,
因为函数f(x)在(-1,1)上是奇函数,
所以当x∈[-1,0)时,f(x)单调递增,且f(x)f(0)=0,
综上可知,函数f(x)=在(-1,1)上单调递增,
即x1,x2∈(-1,1),若x1≠x2,则一定有f(x1)≠
(4)由g(x)=f(x)-kx=0,即,
当x=0时,显然成立,即x=0是函数的一个零点,
当x∈(0,1)时,,解得
,令
,解得
即(
)是函数的一个零点,
由于g(-x)= f(-x)+kx=- f(x)+kx=-(f(x)-kx)=- g(x),
即g(x)是(-1,1)上的奇函数,
故在区间(-1,0)上一定存在(
)是函数的另一个零点,
所以(4)正确
故(1),(3),(4)正确.
故答案为:(1),(3),(4)
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【题目】已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过的(-2,16).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2m+5)<f(3m+3),求m的取值范围.
【答案】(1)f(x)=; (2)m<2.
【解析】
(1)将代入
可得
,从而可得函数
的解析式;(2)根据(1)中所求解析式判断
是实数集上的减函数,不等式
等价于
,解不等式即可得结果.
(1)∵函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过点(-2,16),
∴a-2=16
∴a=,即f(x)=
,
(2)∵f(x)=为减函数,f(2m+5)<f(3m+3),
∴2m+5>3m+3,
解得m<2.
【点睛】
本题主要考查了指数函数的解析式和指数函数单调性的应用,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于基础题.
【题型】解答题
【结束】
19
【题目】2017年APEC会议于11月10日至11日在越南岘港举行,某研究机构为了了解各年龄层对APEC会议的关注程度,随机选取了100名年龄在[20,45]内的市民举行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分组区间分布为[20,25),[25.30),[30,35),[35,40),[40,45]).
(1)求选取的市民年龄在[30,35)内的人数;
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人参与APEC会议的宣传活动,求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.
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【题目】二次函数f(x)的对称轴是x=-1,f(x)在R上的最小值是0,且f(1)=4.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=(λ-1)f(x-1)-λx-3在x∈[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=cos(2x-
).
(1)利用“五点法”,完成以下表格,并画出函数f(x)在一个周期上的图象;
(2)求函数f(x)的单调递减区间和对称中心的坐标;
(3)如何由y=cosx的图象变换得到f(x)的图象.
2x- | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
f(x) |
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【题目】已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元,每生产1万只还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完,每万只的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
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【题目】如图,面积为的正方形
中有一个不规则的图形
,可按下面方法估计
的面积:在正方形
中随机投掷
个点,若
个点中有
个点落入
中,则
的面积的估计值为
,假设正方形
的边长为2,
的面积为1,并向正方形
中随机投掷
个点,以
表示落入
中的点的数目.
(I)求的均值
;
(II)求用以上方法估计的面积时,
的面积的估计值与实际值之差在区间
内的概率.
附表:
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【题目】日前,扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划,其中将对一块以O为圆心,R(R为常数,单位:米)为半径的半圆形荒地进行治理改造,如图所示,△OBD区域用于儿童乐园出租,弓形BCD区域(阴影部分)种植草坪,其余区域用于种植观赏植物.已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元,儿童乐园出租的利润是每平方米95元.
(1)设∠BOD=θ(单位:弧度),用θ表示弓形BCD的面积S弓=f(θ);
(2)如果市规划局邀请你规划这块土地,如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大?并求出该最大值.
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