【题目】定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=,则关于x的函数F(x)=f(x)-
的所有零点之和为______.
【答案】
【解析】
根据分段函数的解析式和奇函数的对称性作出函数在
上的图象和
的图象,利用数形结合的方法求解即可
∵当x≥0时,f(x)=;
即x∈时,f(x)=
x∈[1,3]时,f(x)=x-2∈[-1,1];
x∈(3,+∞)时,f(x)=4-x∈(-∞,-1)
画出x≥0时f(x)的图象,
再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示;
则直线,与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)-
=0共五个实根,
最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,
∵x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),∴f(-x)=
又f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-=
∴中间的一个根满足
即1-x=,解得x=1-
,
∴所有根的和为
故答案为:
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【题目】已知函数f(x)=(x∈(-1,1)),有下列结论:
(1)x∈(-1,1),等式f(-x)+f(x)=0恒成立;
(2)m∈[0,+∞),方程|f(x)|=m有两个不等实数根;
(3)x1,x2∈(-1,1),若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
(4)存在无数多个实数k,使得函数g(x)=f(x)-kx在(-1,1)上有三个零点
则其中正确结论的序号为______.
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【题目】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn , 且S2=6,S4=30,n∈N* , 数列{bn}满足bnbn+1=an , b1=1
(1)求an , bn;
(2)求数列{bn}的前n项和为Tn .
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【题目】如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F 分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.
(Ⅰ)求证:直线l⊥平面PAC;
(Ⅱ)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余?若存在,求出|AQ|的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,且公差和公比都是2,若对满足m+n≤5的任意正整数m,n,均有am+an=am+n成立. (I)求数列{an}的通项公式;
(II)若bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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