【题目】如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F 分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.
(Ⅰ)求证:直线l⊥平面PAC;
(Ⅱ)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余?若存在,求出|AQ|的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明:∵E,F分别是PB,PC的中点,∴BC∥EF, 又EF平面EFA,BC不包含于平面EFA,
∴BC∥面EFA,
又BC面ABC,面EFA∩面ABC=l,
∴BC∥l,
又BC⊥AC,面PAC∩面ABC=AC,
面PAC⊥面ABC,∴BC⊥面PAC,
∴l⊥面PAC.
(Ⅱ)解:以C为坐标原点,CA为x轴,CB为y轴,
过C垂直于面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0, ),
E( ),F(
),
,
,
设Q(2,y,0),面AEF的法向量为 ,
则 ,
取z= ,得
,
,
|cos< >|=
=
,
|cos< >|=
=
,
依题意,得|cos< >|=|cos<
>|,
∴y=±1.
∴直线l上存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余,|AQ|=1.
【解析】(Ⅰ)利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA,从而得到BC∥l,再由已知条件推导出BC⊥面PAC,由此证明l⊥面PAC.(2)以C为坐标原点,CA为x轴,CB为y轴,过C垂直于面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求出直线l上存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余,|AQ|=1.
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【题目】已知函数,命题
,
;命题
.
(1)若为真命题,求
的取值范围;
(2)若为真命题,求
的取值范围;
(3)若“”为假命题,“
”为假命题,求
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点
和直线
:
,设圆
的半径为1,圆心在直线
上.
(Ⅰ)若圆心也在直线
上,过点
作圆
的切线.
(1)求圆的方程;(2)求切线的方程;
(Ⅱ)若圆上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.
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【题目】日前,扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划,其中将对一块以O为圆心,R(R为常数,单位:米)为半径的半圆形荒地进行治理改造,如图所示,△OBD区域用于儿童乐园出租,弓形BCD区域(阴影部分)种植草坪,其余区域用于种植观赏植物.已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元,儿童乐园出租的利润是每平方米95元.
(1)设∠BOD=θ(单位:弧度),用θ表示弓形BCD的面积S弓=f(θ);
(2)如果市规划局邀请你规划这块土地,如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大?并求出该最大值.
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【题目】对于定义在上的函数
,有下列四个命题:
①若是奇函数,则
的图象关于点
对称;
②若对,有
,则
的图象关于直线
对称;
③若对,有
,则
的图象关于点
对称;
④函数与函数
的图像关于直线
对称.
其中正确命题的序号为__________.(把你认为正确命题的序号都填上)
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【题目】某市对高二学生的期末理科数学测试的数据统计显示,全市10000名学生的成绩服从正态分布,现从甲校100分以上(含100分)的200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷来分析(试卷编号为001,002,…,200),统计如下:
注:表中试卷编号
(1)写出表中试卷得分为144分的试卷编号(写出具体数据即可);
(2)该市又从乙校中也用与甲校同样的抽样方法抽取了20份试卷,将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图(如图)在甲、乙两校这40份学生的试卷中,从成绩在140分以上(含140分)的学生中任意抽取3人,该3人在全市排名前15名的人数记为,求随机变量
的分布列和期望.
附:若随机变量X服从正态分布则
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