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    【题目】在直三棱柱中， ， ， 是的中点.

    （1）求证： 平面；

    （2）求二面角的余弦值.

    【答案】（1）见解析；（2）.

    【解析】试题分析: (1)第(1)问, 连接，交于点，连结，证明即得平面 . (2)第(2)问, 以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.

    试题解析:

    （1）连接，交于点，连结，

    ∵在直三棱柱中， ，

    ∴是正方形，∴是的中点，

    ∵是的中点，∴是的中位线，∴，

    ∵不包含于平面， 平面，

    ∴平面.

    （2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，

    以过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，

    ∵， ， 是的中点，

    ∴， ， ， ，

    ∴， ， ，

    设平面的法向量，则， ，

    ∴，∴，

    设平面的法向量，则， ，

    ∴，∴，

    设二面角的平面角为，

    .∴二面角的余弦值为.

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