【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
的方程为
,
点的坐标为
.
(1)求过点且与圆
相切的直线方程;
(2)过点任作一条直线
与圆
交于不同两点
,
,且圆
交
轴正半轴于点
,求证:直线
与
的斜率之和为定值.
【答案】(1)或
(2)详见解析
【解析】
(1)当直线的斜率不存在时,直线
满足题意,当直线
的斜率存在时,设切线方程为
,圆心到直线的距离等于半径,列式子求解即可求出
,即可得到切线方程;(2)设直线
:
,代入圆
的方程,可得到关于
的一元二次方程,设
,
,且
,直线
与
的斜率之和为
,代入根与系数关系整理可得到所求定值。
(1)当直线的斜率不存在时,显然直线
与圆
相切
当直线的斜率存在时,设切线方程为
,
圆心到直线的距离等于半径,即,解得
,切线方程为:
,
综上,过点且与圆
相切的直线的方程是
或
(2)圆:
与
轴正半轴的交点为
,依题意可得直线
的斜率存在且不为0,设直线
:
,代入圆
:
,
整理得:.
设,
,且
∴,
∴直线与
的斜率之和为
为定值.
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【题目】已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元,每生产1万只还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完,每万只的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点
和直线
:
,设圆
的半径为1,圆心在直线
上.
(Ⅰ)若圆心也在直线
上,过点
作圆
的切线.
(1)求圆的方程;(2)求切线的方程;
(Ⅱ)若圆上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.
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【题目】日前,扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划,其中将对一块以O为圆心,R(R为常数,单位:米)为半径的半圆形荒地进行治理改造,如图所示,△OBD区域用于儿童乐园出租,弓形BCD区域(阴影部分)种植草坪,其余区域用于种植观赏植物.已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元,儿童乐园出租的利润是每平方米95元.
(1)设∠BOD=θ(单位:弧度),用θ表示弓形BCD的面积S弓=f(θ);
(2)如果市规划局邀请你规划这块土地,如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大?并求出该最大值.
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【题目】数据显示,某公司2018年上半年五个月的收入情况如下表所示:
月份 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
月收入(万元) | 1.4 | 2.56 | 5.31 | 11 | 21.3 |
根据上述数据,在建立该公司2018年月收入(万元)与月份
的函数模型时,给出两个函数模型
与
供选择.
(1)你认为哪个函数模型较好,并简单说明理由;
(2)试用你认为较好的函数模型,分析大约从第几个月份开始,该公司的月收入会超过100万元?(参考数据,
)
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【题目】对于定义在上的函数
,有下列四个命题:
①若是奇函数,则
的图象关于点
对称;
②若对,有
,则
的图象关于直线
对称;
③若对,有
,则
的图象关于点
对称;
④函数与函数
的图像关于直线
对称.
其中正确命题的序号为__________.(把你认为正确命题的序号都填上)
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【题目】已知直线:
和圆
:
.
(1)求证:直线恒过一定点
;
(2)试求当为何值时,直线
被圆
所截得的弦长最短;
(3)在(2)的前提下,直线是过点
,且与直线
平行的直线,求圆心在直线
上,且与圆
相外切的动圆中半径最小圆的标准方程.
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【题目】设是定义在正整数集上的函数,且
满足:当
成立时,总可推出
成立,那么下列命题总成立的是( )
A. 若成立,则
成立;
B. 若成立,则
成立;
C. 若成立,则当
时,均有
成立;
D. 若成立,则当
时,均有
成立.
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