【题目】已知直线:
和圆
:
.
(1)求证:直线恒过一定点
;
(2)试求当为何值时,直线
被圆
所截得的弦长最短;
(3)在(2)的前提下,直线是过点
,且与直线
平行的直线,求圆心在直线
上,且与圆
相外切的动圆中半径最小圆的标准方程.
【答案】(1); (2)
;(3)
.
【解析】
(1)通过直线l转化为直线系,求出直线恒过的定点;
(2)当直线与
垂直时,所截得的弦长最短,此时有
=-1,由此能出m的值;
(3)由(2)得直线的方程为
,可判断出直线
与圆
相离,设动圆圆心为
,当圆心
到圆心
的距离最小时,动圆
的半径最小,从而得到最小圆的标准方程.
(1)证明:直线的方程可化为:
.
解方程组,得
.
所以,直线恒过定点
.
(2)解:圆:
的标准方程为
,
表示以为圆心,
为半径的圆,
,
,
∴在圆
内,那么对任意
都有直线
与圆
相交.
当直线与
垂直时,所截弦长最短.
又直线的斜率
,∴此时直线
的斜率为
.
即,解得
.
(3)解:由(2)得直线的斜率为
,又∵
,
∴直线的方程为
,即
.
又圆心到直线
的距离
,所以直线
与圆
相离.
设动圆圆心为,当圆心
到圆心
的距离最小时,动圆
的半径最小,
此时圆心为过点
且与
垂直的直线与
的交点,且动圆半径的最小值为
.
又过点与
垂直的直线方程为
,即
.
解方程组,得
.
即圆心为
.
∴所求圆的标准方程为.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
的方程为
,
点的坐标为
.
(1)求过点且与圆
相切的直线方程;
(2)过点任作一条直线
与圆
交于不同两点
,
,且圆
交
轴正半轴于点
,求证:直线
与
的斜率之和为定值.
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【题目】《城市规划管理意见》里面提出“新建住宅要推广街区制,原则上不再建设封闭住宅小区,已建成的封闭小区和单位大院要逐步打开”,这个消息在网上一石激起千层浪,各种说法不一而足.某网站为了解居民对“开放小区”认同与否,从岁的人群中随机抽取了
人进行问卷调查,并且做出了各个年龄段的频率分布直方图(部分)如图所示,同时对
人对这“开放小区”认同情况进行统计得到下表:
(Ⅰ)完成所给的频率分布直方图,并求的值;
(Ⅱ)如果从两个年龄段中的“认同”人群中,按分层抽样的方法抽取6人参与座谈会,然后从这6人中随机抽取2人作进一步调查,求这2人的年龄都在
内的概率 .
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【题目】已知数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,且公差和公比都是2,若对满足m+n≤5的任意正整数m,n,均有am+an=am+n成立. (I)求数列{an}的通项公式;
(II)若bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】定义区间[x1 , x2]长度为x2﹣x1(x2>x1),已知函数f(x)= (a∈R,a≠0)的定义域与值域都是[m,n],则区间[m,n]取最大长度时a的值是 .
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【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M是棱SB的中点. (Ⅰ)求证:AM∥面SCD;
(Ⅱ)求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为θ,求sinθ的最大值.
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【题目】已知函数f(x)= (b∈R).若存在x∈[
,2],使得f(x)+xf′(x)>0,则实数 b的取值范围是( )
A.(﹣∞, )
B.(﹣∞, )
C.(﹣∞,3)
D.(﹣∞, )
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【题目】某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB的高度已知测角仪器距离地面的高度为h米,现有两种测量方法:
方法如图
用测角仪器,对准教学楼的顶部A,计算并记录仰角
;
后退a米,重复
中的操作,计算并记录仰角
.
方法如图
用测角仪器,对准教学楼的顶部A底部B,测出教学楼的视角
,测试点与教学楼的水平距离b米.
请你回答下列问题:
用数据
,
,a,h表示出教学楼AB的高度;
按照方法II,用数据
,b,h表示出教学楼AB的高度.
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