Question

【题目】已知直线：和圆：.

（1）求证：直线恒过一定点；

（2）试求当为何值时，直线被圆所截得的弦长最短；

（3）在（2）的前提下，直线是过点，且与直线平行的直线，求圆心在直线上，且与圆相外切的动圆中半径最小圆的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）； （2）；（3）.

【解析】

（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；

（2）当直线与垂直时，所截得的弦长最短，此时有=-1，由此能出m的值;

（3）由（2）得直线的方程为，可判断出直线与圆相离，设动圆圆心为，当圆心到圆心的距离最小时，动圆的半径最小，从而得到最小圆的标准方程.

（1）证明：直线的方程可化为：.

解方程组，得.

所以，直线恒过定点.

（2）解：圆：的标准方程为，

表示以为圆心，为半径的圆，

，，

∴在圆内，那么对任意都有直线与圆相交.

当直线与垂直时，所截弦长最短.

又直线的斜率，∴此时直线的斜率为.

即，解得.

（3）解：由（2）得直线的斜率为，又∵，

∴直线的方程为，即.

又圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.

设动圆圆心为，当圆心到圆心的距离最小时，动圆的半径最小，

此时圆心为过点且与垂直的直线与的交点，且动圆半径的最小值为.

又过点与垂直的直线方程为，即.

解方程组，得.

即圆心为.

∴所求圆的标准方程为.