Question

【题目】定义区间[x1 ， x2]长度为x2﹣x1（x2＞x1），已知函数f（x）= （a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值是 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：函数f（x）= （a∈R，a≠0）的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集， ∴[m，n]（﹣∞，0）或（0，+∞）．
f（x）= = 在区间[m，n]上时增函数，则有： ，
故m，n是方程f（x）= =x的同号相异的实数根，
即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．
那么mn= ，m+n= ，只需要△＞0，
即（a2+a）2﹣4a2＞0，解得：a＞1或a＜﹣3．
那么：n﹣m= = ，
故n﹣m的最大值为 ，此时 ，解得：a=3．
即在区间[m，n]的最大长度为 ，此时a的值等于3．
所以答案是3．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识，掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零，以及对函数的值域的理解，了解求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．