【题目】已知数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,且公差和公比都是2,若对满足m+n≤5的任意正整数m,n,均有am+an=am+n成立. (I)求数列{an}的通项公式;
(II)若bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn .
【答案】解:(I)∵对满足m+n≤5的任意正整数m,n,均有am+an=am+n成立. ∴m=n=1时,2a1=a2=a1+2.
m=1,n=2时,可得a1+a2=a3=a1+2,解得a2=2,a1=1.
∴n为奇数时,an=1+ =n,n为偶数时,an=2×
=
.
∴an= .
(II)bn= ,∴n为奇数时,bn=
=
.
n为偶数时,bn= .
因此:n为偶数时,数列{bn}的前n项和Tn= +
=
+
=
﹣
﹣
.
∴n为奇数时,Tn=Tn﹣1+bn= ﹣
+
=
﹣
﹣
.
【解析】(1)对满足m+n≤5的任意正整数m,n,均有am+an=am+n成立.可得:m=n=1时,2a1=a2=a1+2.m=1,n=2时,可得a1+a2=a3=a1+2,解得a2=2,a1=1.分奇偶项即可得出.(2)bn= ,可得n为奇数时,bn=
=
.n为偶数时,bn=
.因此:n为偶数时,数列{bn}的前n项和Tn=
+
. n为奇数时,Tn=Tn﹣1+bn , 即可得出.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】日前,扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划,其中将对一块以O为圆心,R(R为常数,单位:米)为半径的半圆形荒地进行治理改造,如图所示,△OBD区域用于儿童乐园出租,弓形BCD区域(阴影部分)种植草坪,其余区域用于种植观赏植物.已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元,儿童乐园出租的利润是每平方米95元.
(1)设∠BOD=θ(单位:弧度),用θ表示弓形BCD的面积S弓=f(θ);
(2)如果市规划局邀请你规划这块土地,如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大?并求出该最大值.
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【题目】对于定义在上的函数
,有下列四个命题:
①若是奇函数,则
的图象关于点
对称;
②若对,有
,则
的图象关于直线
对称;
③若对,有
,则
的图象关于点
对称;
④函数与函数
的图像关于直线
对称.
其中正确命题的序号为__________.(把你认为正确命题的序号都填上)
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【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别为
,
,左顶点为
,上顶点为
,
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线:
与椭圆
相交于不同的两点
,
,
是线段
的中点.若经过点
的直线
与直线
垂直于点
,求
的取值范围.
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【题目】已知直线:
和圆
:
.
(1)求证:直线恒过一定点
;
(2)试求当为何值时,直线
被圆
所截得的弦长最短;
(3)在(2)的前提下,直线是过点
,且与直线
平行的直线,求圆心在直线
上,且与圆
相外切的动圆中半径最小圆的标准方程.
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【题目】设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+ ). (Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f( )=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
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【题目】某市对高二学生的期末理科数学测试的数据统计显示,全市10000名学生的成绩服从正态分布,现从甲校100分以上(含100分)的200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷来分析(试卷编号为001,002,…,200),统计如下:
注:表中试卷编号
(1)写出表中试卷得分为144分的试卷编号(写出具体数据即可);
(2)该市又从乙校中也用与甲校同样的抽样方法抽取了20份试卷,将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图(如图)在甲、乙两校这40份学生的试卷中,从成绩在140分以上(含140分)的学生中任意抽取3人,该3人在全市排名前15名的人数记为,求随机变量
的分布列和期望.
附:若随机变量X服从正态分布则
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