Question

【题目】日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O为圆心，R（R为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD区域用于儿童乐园出租，弓形BCD区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．

（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD的面积S弓=f（θ）；

（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50π）.

【解析】分析：根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，即可求解弓形的面积；

（2）由题意列出函数的关系式，利用导数判断函数的单调性，即可求解最大值．

详解：（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，

S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）

（2）设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元；

则y1=R2sinθ95，y2=R2（θ﹣sinθ）5，y3=R2（π﹣θ）55，

∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π），

设g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．

∴g′（θ）=100cosθ+50

∴g′（θ）＜0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；

g′（θ）＞0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上为增函数；

当θ=时，g（θ）取到最大值，此时总利润最大，

此时总利润最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．

（求最值时，如不交代单调性或者列表，扣2分）

答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50﹣π）