【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M是棱SB的中点. (Ⅰ)求证:AM∥面SCD;
(Ⅱ)求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为θ,求sinθ的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,2,0),D(1,0,0,),S(0,0,2),M(0,1,1).
则 ,
,
.
设平面SCD的法向量是 ,则
,即
令z=1,则x=2,y=﹣1.于是 .
∵ ,∴
.
又∵AM平面SCD,∴AM∥平面SCD.
(Ⅱ)易知平面SAB的法向量为 .设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α,
则 =
=
,即
.
∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为 .
(Ⅲ)设N(x,2x﹣2,0),则 .
∴ =
=
=
.
当 ,即
时,
.
【解析】(Ⅰ)通过建立空间直角坐标系,利用平面SCD的法向量 即可证明AM∥平面SCD;(Ⅱ)分别求出平面SCD与平面SAB的法向量,利用法向量的夹角即可得出;(Ⅲ)利用线面角的夹角公式即可得出表达式,进而利用二次函数的单调性即可得出.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角,需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线平行;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
才能得出正确答案.
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【题目】对于定义在上的函数
,有下列四个命题:
①若是奇函数,则
的图象关于点
对称;
②若对,有
,则
的图象关于直线
对称;
③若对,有
,则
的图象关于点
对称;
④函数与函数
的图像关于直线
对称.
其中正确命题的序号为__________.(把你认为正确命题的序号都填上)
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【题目】已知直线:
和圆
:
.
(1)求证:直线恒过一定点
;
(2)试求当为何值时,直线
被圆
所截得的弦长最短;
(3)在(2)的前提下,直线是过点
,且与直线
平行的直线,求圆心在直线
上,且与圆
相外切的动圆中半径最小圆的标准方程.
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【题目】设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+ ). (Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f( )=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的方程为4ρcosθ﹣ρsinθ﹣25=0,曲线W: (t是参数).
(1)求直线l的直角坐标方程与曲线W的普通方程;
(2)若点P在直线l上,Q在曲线W上,求|PQ|的最小值.
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【题目】某市对高二学生的期末理科数学测试的数据统计显示,全市10000名学生的成绩服从正态分布,现从甲校100分以上(含100分)的200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷来分析(试卷编号为001,002,…,200),统计如下:
注:表中试卷编号
(1)写出表中试卷得分为144分的试卷编号(写出具体数据即可);
(2)该市又从乙校中也用与甲校同样的抽样方法抽取了20份试卷,将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图(如图)在甲、乙两校这40份学生的试卷中,从成绩在140分以上(含140分)的学生中任意抽取3人,该3人在全市排名前15名的人数记为,求随机变量
的分布列和期望.
附:若随机变量X服从正态分布则
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【题目】设是定义在正整数集上的函数,且
满足:当
成立时,总可推出
成立,那么下列命题总成立的是( )
A. 若成立,则
成立;
B. 若成立,则
成立;
C. 若成立,则当
时,均有
成立;
D. 若成立,则当
时,均有
成立.
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【题目】已知奇函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则不等式(x﹣1)f(x﹣1)>0的解集是( )
A.(﹣3,﹣1)
B.(﹣1,1)∪(1,3)
C.(﹣3,0)∪(3,+∞)
D.(﹣3,1)∪(2,+∞)
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