【题目】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn , 且S2=6,S4=30,n∈N* , 数列{bn}满足bnbn+1=an , b1=1
(1)求an , bn;
(2)求数列{bn}的前n项和为Tn .
【答案】
(1)解:设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),
由题意可得a1+a1q=6,a1+a1q+a1q2+a1q3=30,
解得a1=q=2(负的舍去),
可得an=a1qn﹣1=2n;
由bnbn+1=an=2n,b1=1,
可得b2=2,
即有bn+1bn+2=an=2n+1,
可得 =2,
可得数列{bn}中奇数项,偶数项均为公比为2的等比数列,
即有bn= ;
(2)解:当n为偶数时,前n项和为Tn=(1+2+..+ )+(2+4+..+
)
= +
=3(
)n﹣3;
当n为奇数时,前n项和为Tn=Tn﹣1+
=3( )n﹣1﹣3+
=(
)n+3﹣3.
综上可得,Tn=
【解析】(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),由等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比均为2,可得an=a1qn﹣1=2n;再由n换为n+1,可得数列{bn}中奇数项,偶数项均为公比为2的等比数列,运用等比数列的通项公式,即可得到所求bn;(2)讨论n为奇数和偶数,运用分组求和和等比数列的求和公式,化简整理即可得到所求和.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】某校为了了解学生对消防知识的了解情况,从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛.下图(1)和下图(2)分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按,
,
,
分组,得到的频率分布直方图.
(1)请计算高一年级和高二年级成绩小于60分的人数;
(2)完成下面列联表,并回答:有多大的把握可以认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”?
附:临界值表及参考公式: ,
.
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【题目】已知函数f(x)=cos(2x-
).
(1)利用“五点法”,完成以下表格,并画出函数f(x)在一个周期上的图象;
(2)求函数f(x)的单调递减区间和对称中心的坐标;
(3)如何由y=cosx的图象变换得到f(x)的图象.
2x- | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
f(x) |
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【题目】如图,面积为的正方形
中有一个不规则的图形
,可按下面方法估计
的面积:在正方形
中随机投掷
个点,若
个点中有
个点落入
中,则
的面积的估计值为
,假设正方形
的边长为2,
的面积为1,并向正方形
中随机投掷
个点,以
表示落入
中的点的数目.
(I)求的均值
;
(II)求用以上方法估计的面积时,
的面积的估计值与实际值之差在区间
内的概率.
附表:
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【题目】如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,EF∥AD,FA⊥面ABCD,AB=AF=EF=1,AD=2,AC交BD于点P
(1)证明:PF∥面ECD;
(2)求二面角B﹣EC﹣A的大小.
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【题目】已知函数,命题
,
;命题
.
(1)若为真命题,求
的取值范围;
(2)若为真命题,求
的取值范围;
(3)若“”为假命题,“
”为假命题,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别为
,
,左顶点为
,上顶点为
,
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线:
与椭圆
相交于不同的两点
,
,
是线段
的中点.若经过点
的直线
与直线
垂直于点
,求
的取值范围.
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