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已知函数f(x)=
a•2x-2+a2x+1
(a∈R).
(1)试判断f(x)的单调性,并证明你的结论;
(2)若f(x)为定义域上的奇函数,
①求函数f(x)的值域;
②求满足f(ax)<f(2a-x2)的x的取值范围.
分析:(1)函数f(x)为定义域(-∞,+∞),且f(x)=a-
2
2x+1
,任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,推导出f(x2)-f(x1)>0,由此得到f(x)在(-∞,+∞)上的单调增函数.
(2)由f(x)是定义域上的奇函数,知a-
2
2-x+1
+(a-
2
2x+1
)=0
对任意实数x恒成立,由此能够求出函数f(x)的值域和满足f(ax)<f(2a-x2)的x的取值范围.
解答:(本小题满分16分)
解:(1)函数f(x)为定义域(-∞,+∞),
f(x)=a-
2
2x+1

任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2
f(x2)-f(x1)=a-
2
2x2+1
-a+
2
2x1+1
=
2(2x2-2x1)
(2x2+1)(2x1+1)
…(3分)
∵y=2x在R上单调递增,且x1<x2
0<2x12x22x2-2x1>02x1+1>02x2+1>0
∴f(x2)-f(x1)>0,
即f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(-∞,+∞)上的单调增函数.…(5分)
(2)∵f(x)是定义域上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),
a-
2
2-x+1
+(a-
2
2x+1
)=0
对任意实数x恒成立,
化简得2a-(
2•2x
2x+1
+
2
2x+1
)=0

∴2a-2=0,即a=1,…(8分)
(注:直接由f(0)=0得a=1而不检验扣2分)
①由a=1得f(x)=1-
2
2x+1

∵2x+1>1,∴0<
1
2x+1
<1
,…(10分)
-2<-
2
2x+1
<0
,∴-1<1-
2
2x+1
<1

故函数f(x)的值域为(-1,1).…(12分)
②由a=1,得f(x)<f(2-x2),
∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,∴x<2-x2,…(14分)
解得-2<x<1,
故x的取值范围为(-2,1).…(16分)
点评:本题考查函数的单调性的判断,考查函数的值域的求法和满足f(ax)<f(2a-x2)的x的取值范围.解题时要认真审题,仔细解答,注意定义法判断函数的单调性的应用.
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已知函数f(x)=a-
12x+1

(1)求证:不论a为何实数f(x)总是为增函数;
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a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
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(a>0且a≠1)图象经过点Q(8,6).
(1)求a的值,并在直线坐标系中画出函数f(x)的大致图象;
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已知函数f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)为奇函数,则a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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已知函数f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(III)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)

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已知函数f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)考察f(x)在定义域上单调性的情况,并证明你的结论.

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