Question

已知函数f(x)=

a•2x-2+a

2x+1

（a∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，
①求函数f（x）的值域；
②求满足f（ax）＜f（2a-x²）的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）为定义域（-∞，+∞），且f(x)=a-

2

2x+1

，任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，推导出f（x₂）-f（x₁）＞0，由此得到f（x）在（-∞，+∞）上的单调增函数．
（2）由f（x）是定义域上的奇函数，知a-

2

2-x+1

+(a-

2

2x+1

)=0对任意实数x恒成立，由此能够求出函数f（x）的值域和满足f（ax）＜f（2a-x²）的x的取值范围．

解答：（本小题满分16分）
解：（1）函数f（x）为定义域（-∞，+∞），
且f(x)=a-

2

2x+1

，
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂
则f(x2)-f(x1)=a-

2

2x2+1

-a+

2

2x1+1

=

2(2x2-2x1)

(2x2+1)(2x1+1)

…（3分）
∵y=2^x在R上单调递增，且x₁＜x₂
∴0＜2x1＜2x2，2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上的单调增函数．…（5分）
（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即a-

2

2-x+1

+(a-

2

2x+1

)=0对任意实数x恒成立，
化简得2a-(

2•2x

2x+1

+

2

2x+1

)=0，
∴2a-2=0，即a=1，…（8分）
（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）
①由a=1得f(x)=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，…（10分）
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，∴-1＜1-

2

2x+1

＜1
故函数f（x）的值域为（-1，1）．…（12分）
②由a=1，得f（x）＜f（2-x²），
∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，∴x＜2-x²，…（14分）
解得-2＜x＜1，
故x的取值范围为（-2，1）．…（16分）

点评：本题考查函数的单调性的判断，考查函数的值域的求法和满足f（ax）＜f（2a-x²）的x的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法判断函数的单调性的应用．