Question

3．已知函数f（x）=$\frac{a}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+x-$\frac{1}{3}$
（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，求实数a，b的值；
（2）求f（x）的单调减区间，并求函数f（x）的极值；
（3）若g（x）=f（x）+$\frac{1}{3}$+mx是奇函数，且函数g（x）在x=-1时取得极值，求m的值．
（4）在条件（3）下，若方程g（x）+k=0在区间[-3，3]上有一解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，即可求实数a，b的值；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（3）根据函数的奇偶性，求出a的值，根据g′（-1）=0，求出m的值即可；
（4）求出g（x）的单调区间，函数g（x）的图象，结合图象求出k的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=ax²-（a+1）x+1（a∈R），
由f′（2）=9，得a=5，
∴f（x）=$\frac{5}{3}$x³-3x²+x-$\frac{1}{3}$，
∴f（2）=3，
∴（2，3）在直线9x-y+b=0上，
∴b=-15；
（2）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1），
①a=0时，f′（x）=1-x，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（1，+∞）递减，f（x）_^极大值=f（1）=$\frac{1}{3}$，
②0＜a＜1时，$\frac{1}{a}$＞1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（1，$\frac{1}{a}$）递减，
∴f（x）_极大值=f（1）=$\frac{1-a}{6}$，f（x）_极小值=f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{{6a}^{2}}$-$\frac{1}{3}$，
③a=1时，f′（x）≥0，f（x）递增，无极值，
④a＞1时，$\frac{1}{a}$＜1，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜1，
f（x）在（$\frac{1}{a}$，1）递减，
f（x）_极小值=f（1）=$\frac{1-a}{6}$，f（x）_极大值=f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{{6a}^{2}}$-$\frac{1}{3}$，
⑤a＜0时，$\frac{1}{a}$＜1，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜1，
f（x）在（$\frac{1}{a}$，1）递减，
f（x）_极小值=f（1）=$\frac{1-a}{6}$，f（x）_极大值=f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{{6a}^{2}}$-$\frac{1}{3}$；
（3）g（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+（m+1）x，
g（-x）=-$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$（a+1）x²-（m+1）x，g（x）是奇函数，
∴a+1=0，解得：a=-1，
∴g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+（m+1）x，g′（x）=-x²+（m+1），
g′（-1）=-1+m+1=0，解得：m=0；
（4）在条件（3）下，g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x，
g′（x）=-x²+1，令g′（x）＞0，解得：-1＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-1，
∴g（x）在[-3，-1）递减，在（-1，1）递增，在（1，3]递减，
而g（-3）=6，g（-1）=-$\frac{2}{3}$，g（1）=$\frac{2}{3}$，g（3）=-6，
函数函数g（x）的图象，如图示：
，
结合图象，$\frac{2}{3}$＜k≤6或-6≤k＜-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、数形结合思想，是一道综合题．