Question

14．已知椭圆C的右焦点F（1，0），过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，当l垂直于x轴时，|AB|=3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在x轴上是否存在点T，使得$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$为定值？若存在，求出点T坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0．，由已知可得：$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，c=1，又a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）设存在满足条件的点T（t，0），当直线AB斜率不为0时，可设直线AB为x=my+1，将直线方程代入C得（4+3m²）y²+6my-9=0，利用根与系数的关系、向量数量积运算性质可得：$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$=$\frac{（6t-15）{m}^{2}-9}{4+3{m}^{2}}$+t²-2t+1，要使$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$为定值须有$\frac{6t-15}{3}$=$\frac{-9}{4}$，得t，即可得出；当直线AB斜率为0时，$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$直接得出．

解答 解：（1）设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，
由已知可得：$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，c=1，
又a²=b²+c²，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\end{array}$，
故所求椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设存在满足条件的点T（t，0），
当直线AB斜率不为0时，可设直线AB为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将x=my+1代入C得（4+3m²）y²+6my-9=0，
显然△＞0，且y₁+y₂=$\frac{-6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-9}{4+3{m}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{8}{4+3{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4-12{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂=x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+y₁y₂=$\frac{（6t-15）{m}^{2}-9}{4+3{m}^{2}}$+t²-2t+1，
要使$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$为定值须有$\frac{6t-15}{3}$=$\frac{-9}{4}$，得t=$\frac{11}{8}$，
此时T（$\frac{11}{8}$，0），$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$为定值-$\frac{135}{64}$．
当直线AB斜率为0时，$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$=-$\frac{135}{64}$．
故存在点T（$\frac{11}{8}$，0）满足题设．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．