Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2-a_n，n∈N^*，设函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，数列{b_n}满足b_n=f（a_n），记{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求a_n及T_n；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求c_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式求得首项，进一步得到数列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首项a₁=1的等比数列，求其通项公式，代入b_n=f（a_n），得{b_n}为等差数列，则{b_n}的前n项和为T_n可求；
（Ⅱ）把a_n，b_n代入c_n=a_n•b_n，由作差法可得单调性，利用单调性求得c_n的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=2-a_n，得a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2-a_n=（2-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，
则数列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首项a₁=1的等比数列，
∴${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴b_n=f（a_n）=n-1，
则${T}_{n}=\frac{n（n-1）}{2}=\frac{{n}^{2}-n}{2}$；
（Ⅱ） c_n=a_n•b_n=（n=1）$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
由c_n+1-c_n=$n（\frac{1}{2}）^{n}-（n-1）（\frac{1}{2}）^{n-1}=（2-n）（\frac{1}{2}）^{n}$．
当n=1时，c₂＞c₁；
当n=2时，c₃=c₂；
当n≥3时，c_n+1＞c_n．
∴${（{c_n}）_{max}}={c_2}={c_3}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，是中档题．