Question

5．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积取得最小值时，AB的长是$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．

解答 解：∵圆的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，∴圆心C（1，1），半径r=1；
根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，
即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小；
∵圆心C到直线3x+4y+8=0的距离为d=$\frac{|3×1+4×1+8|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=3
∴|PA|=|PB|=$\sqrt{{d}^{2}{-r}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{-1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故四边形PACB面积的最小值为
2S_△PAC=2×$\frac{1}{2}$×|PA|×r=2$\sqrt{2}$；
又AB⊥PC，|PC|=d=3，
∴$\frac{1}{2}$|AB|•d=2$\sqrt{2}$，
∴|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{d}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，解题的关键是“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，是综合性题目．