Question

15．实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}\right.$，则$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$的取值范围是[2，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 根据已知的约束条，画出满足约束条件的可行域，将式子进行变形，再分析目标函数的几何意义，结合图象即可给出目标函数的取值范围．

解答 解：约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}\right.$对应的平面区域如下图示：
设k=$\frac{y}{x}$，则z表示可行域内的点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$可得B（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$可得A（1，2）
由图可知k的最大值为k_OB=2，最小值为k_OA=$\frac{1}{2}$，
$\frac{y}{x}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$，2]，
又$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$=k+$\frac{1}{k}$在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递减，在[1，2]上递增，
则当t=1时，z=1+1=2，
当t=$\frac{1}{2}$时，z=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$的取值范围是[2，$\frac{5}{2}$]．
故答案为：[2，$\frac{5}{2}$]

点评 本题主要考查线性规划的应用，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．