Question

2．已知函数f（x）=x|x-a|+b，x∈R：
（1）若a=1，函数f（x）在[0，+∞）上有三个零点，求实数b的取值范围；
（2）若常数b＜0，且对任意x∈[0，1]，不等式f（2^x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得-b=x|x-1|，即有直线y=-b和函数y=x|x-1|的图象有3个交点．画出函数y=x|x-1|的图象，通过图象，即可得到所求b的范围；
（2）由题意可得2^x|2^x-a|+b＜0，即有|2^x-a|＜$\frac{-b}{{2}^{x}}$，即2^x-$\frac{-b}{{2}^{x}}$＜a＜2^x+$\frac{-b}{{2}^{x}}$，令t=2^x（1≤t≤2），运用对勾函数的单调性，可得不等式左右两边函数的最值，注意讨论b的范围，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x|x-1|+b，
由函数f（x）在[0，+∞）上有三个零点，可得
-b=x|x-1|，即有直线y=-b和函数y=x|x-1|的图象有3个交点．
画出函数y=x|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≥1}\\{x-{x}^{2}，x＜1}\end{array}\right.$的图象，
由图象可得0＜-b＜$\frac{1}{4}$，
即为-$\frac{1}{4}$＜b＜0；
（2）由常数b＜0，且对任意x∈[0，1]，不等式f（2^x）＜0恒成立，
可得2^x|2^x-a|+b＜0，即有
|2^x-a|＜$\frac{-b}{{2}^{x}}$，即2^x-$\frac{-b}{{2}^{x}}$＜a＜2^x+$\frac{-b}{{2}^{x}}$，
令t=2^x（1≤t≤2），t-$\frac{-b}{t}$在[1，2]递增，
可得t=2，即x=1时，取得最大值2+$\frac{b}{2}$；
当$\sqrt{-b}$≥2，即b≤-4时，t+$\frac{-b}{t}$在[1，2]递减，
可得t=2，即x=1时，t+$\frac{-b}{t}$取得最小值2-$\frac{b}{2}$；
当$\sqrt{-b}$≤1，即-1≤b＜0时，t+$\frac{-b}{t}$在[1，2]递增，
可得t=1，即x=0时，t+$\frac{-b}{t}$取得最小值1-b；
当1＜$\sqrt{-b}$＜2，即-4＜b＜-1时，t+$\frac{-b}{t}$在[1，$\sqrt{-b}$]递减，
（$\sqrt{-b}$，2）递增，可得t=$\sqrt{-b}$，即x=log₂$\sqrt{-b}$时，取得最小值2$\sqrt{-b}$．
综上可得，b≤-4时，实数a的取值范围是（2+$\frac{b}{2}$，2-$\frac{b}{2}$）；
-1≤b＜-$\frac{2}{3}$时，实数a的取值范围是（2+$\frac{b}{2}$，1-b）；
-$\frac{2}{3}$≤b＜0时，2+$\frac{b}{2}$＞1-b，a的取值范围是∅；
-4＜b＜-1时，实数a的取值范围是（2+$\frac{b}{2}$，2$\sqrt{-b}$）．

点评 本题考查带绝对值的函数的零点和恒成立问题的解法，注意运用转化思想和数形结合的思想方法，考查分类讨论的思想方法和参数分离的思想，以及换元法，考查运算能力，属于难题．