Question

15．若f（x）=x²+mx-n为偶函数，且f（2）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-（b+1）x在（-1，2）上是单调函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的奇偶性求出m，然后通过f（2）=2求解n，得到函数的解析式．
（2）化简函数的解析式，利用函数的单调区间求解b的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=x²+mx-n为偶函数，可得m=0，因为f（2）=2，
所以2=4-n，解得n=2．
函数的解析式为：f（x）=x²-2．
（2）h（x）=f（x）-（b+1）x=x²-（b+1）x-2在（-1，2）上是单调函数，
可知函数的对称轴为：x=$\frac{b+1}{2}$，
满足：$\frac{b+1}{2}≤-1$或$\frac{b+1}{2}≥2$，
解得b≤-3或b≥3．
b的取值范围：（-∞，-3]∪[3，+∞）．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，注意二次函数的开口方向以及对称轴与函数的单调性的关系．