Question

已知函数f(x)=2

3

sinx•cosx-2cos2x
（1）求函数f（x）的最小正周期和递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域；
（3）若f（x）≥0，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换，将f（x）化简为：f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，从而可求函数f（x）的最小正周期和递增区间；
（2）x∈[0，

π

2

]⇒2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函数的单调性可求得函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域；
（3）解三角不等式2sin（2x-

π

6

）-1≥0即可求得实数x的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sin2x-cos2x-1=2sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴f（x）的递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z），
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴2sin（2x-

π

6

）-1∈[-2，1]，即函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域为[-2，1]；
（3）由f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1≥0得：
2kπ+

π

6

≤2x-

π

6

≤2kπ+

5π

6

（k∈Z），
∴kπ+

π

6

≤x≤kπ+

π

2

（k∈Z），
∴f（x）≥0时实数x的取值范围为[kπ+

π

6

，kπ+

π

2

]（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查正弦函数的周期性、单调性与最值的综合应用，属于中档题．