Question

17．已知抛物线C：x²=2y的焦点为F，过抛物线上一点M作抛物线C的切线l，l交y轴于点N．
（1）判断△MFN的形状；
（2）若A，B两点在抛物线C上，点D（1，1）满足$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{0}$，若抛物线C上存在异于A，B的点E，使得经过A，B，E三点的圆与抛物线在点E处的有相同的切线，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用导数求得切线方程，当x=0，求得N点坐标，根据抛物线的焦半径公式，即可求得丨MF丨=丨NF丨，则△MFN为等腰三角形；
（2）根据向量的坐标运算，求得B点坐标，分别求得AE及AB的中垂线方程，即可求得△ABE外接圆的圆心，由k_ME•x₀=-1，即可求得点E的坐标．

解答 解：（1）由题意可知：抛物线C：x²=2y的焦点F（0，$\frac{1}{2}$），
设M（x₁，$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$），由y=$\frac{{x}^{2}}{2}$，y′=x，
则切线l的方程y-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$=x₁（x-x₁），则y=x₁x-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$，
∴N（0，$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$），丨MF丨=$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，丨NF丨=$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，
丨MF丨=丨NF丨，
∴△MFN为等腰三角形；
（2）设A（x₂，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$），由$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{0}$，
∴D（1，1）是AB的中点，B（2-x₂，2-$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$），
由B在抛物线C上，则（2-x₂）²=2（2-$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$），
解得：x₂=0，x₂=2，
∴A，B两点的坐标为（0，0），（2，2），
设E（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$），（x₀≠0，x₀≠2），
AB的中垂线方程y=-x+2，①AE的中垂线方程y=-$\frac{2}{{x}_{0}}$x+1+$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，②
由
由①②解得：圆心M（-$\frac{{x}_{0}^{2}+2{x}_{0}}{4}$，$\frac{{x}_{0}^{2}+2{x}_{0}+8}{4}$），
由k_ME•x₀=-1，整理得：x₀²-x₀-2=0，
解得：x₀=-1或x₀=2，由x₀≠0，x₀≠2，
∴x₀=-1，
∴E点坐标为（-1，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，向量数量积的坐标运算，三角形外接圆的求法，考查计算能力，属于中档题．