Question

5．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）与圆O：x²+y²=8在第一象限内的交点为M，抛物线C与圆O在点M处的切线斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=1．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设抛物线C在点M处的切线为l，过圆O上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于A点，求|PA|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M点坐标，根据导数几何意义，求得切线斜率，列方程即可求得p的值，即可求得抛物线C的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）直线l的方程2x-y-2=0，则丨PA丨=$\sqrt{2}$d，d_max=$\frac{2}{\sqrt{5}}$+2$\sqrt{2}$，即可求得|PA|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设M（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，
由y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，y′=$\frac{x}{p}$，
故k₁=$\frac{{x}_{0}}{p}$，由k₂=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，k₁+k₂=1，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}}{p}-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}=1}\\{{x}_{0}^{2}=2p{y}_{0}}\\{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=1}\\{{x}_{0}={y}_{0}=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线C的方程为x²=2y；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得直线l的方程2x-y-2=0，
设点P到直线l的距离d，则丨PA丨=$\frac{d}{sin45°}$=$\sqrt{2}$d，
d_max=$\frac{2}{\sqrt{5}}$+2$\sqrt{2}$，
∴|PA|的最大值$\sqrt{2}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$+2$\sqrt{2}$）=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+4．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．