Question

20．一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）．求它的表面积和体积．

Answer 1

分析 （1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．由此可画出直观图．
（2）分别求出个面的面积，之和即为表面积；
法一：将该几何体看作一个长方体被截去一个角，而且被截去的部分为一直三棱柱，利用长方体和棱柱的体积公式求解即可．
法二：该几何体为直四棱柱，体面为直角梯形，故利用棱柱的体积公式求解即可

解答 解：（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．直观图如图所示：
（2）法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A₁A，A₁D₁，A₁B₁为棱的长方体的体积的 $\frac{3}{4}$，
在直角梯形AA₁B₁B中，作BE⊥A₁B₁于E，则AA₁EB是正方形，
∴AA₁=BE=1．
在Rt△BEB₁中，BE=1，EB₁=1，
∴BB₁=$\sqrt{2}$．
∴几何体的表面积S=S_{正方形AA1D1D}+2S_梯形AA1B1B+S_矩形BB1C1C+S_{正方形ABCD}+S_矩形A1B₁C₁D₁
=1+2×$\frac{1}{2}$×（1+2）×1+1×$\sqrt{2}$+1+1×2
=7+$\sqrt{2}$（m²）．
∴几何体的体积V=$\frac{3}{4}$×1×2×1=$\frac{3}{2}$（m³），
∴该几何体的表面积为（7+$\sqrt{2}$）m²，体积为 $\frac{3}{2}$m³．
法二：几何体也可以看作是以AA₁B₁B为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一，
V_{直四棱柱D1C1CD-A1B1BA}=Sh
=$\frac{1}{2}$×（1+2）×1×1=$\frac{3}{2}$（m³）．
∴几何体的表面积为（7+$\sqrt{2}$）m²，体积为 $\frac{3}{2}$m³．

点评 本题考查空间几何体的三视图、直观图、及几何体的表面积和体积，考查空间想象能力和运算能力