Question

5．若不等式x²-log_mx＜0在（0，$\frac{1}{2}$）内恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 在同一坐标系中作y=x²和y=log_mx的草图，利用数学结合得出0＜m＜1，只要x=$\frac{1}{2}$时，y=log_m$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{4}$，进而求出a的范围．

解答 解：由x²-log_mx＜0，得x²＜log_mx，在同一坐标系中作y=x²和y=log_mx的草图，如图所示

要使x²＜log_mx在（0，$\frac{1}{2}$）内恒成立，只要y=log_mx在（0，$\frac{1}{2}$）内的图象在y=x²的上方，于是0＜m＜1
∵x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{1}{4}$，
∴只要x=$\frac{1}{2}$时，y=log_m$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{4}$
∴$\frac{1}{2}$≤${m}^{\frac{1}{4}}$，即m≥$\frac{1}{16}$
又0＜m＜1
∴$\frac{1}{16}$≤m＜1
即实数m的取值范围为$\frac{1}{16}$≤m＜1．

点评 考查了数学结合思想的应用，思路更加直观，易懂．