Question

16．已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的底面边长为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 先设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为h=R+x，从而得出正四棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值即可．

解答 解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，
则：x²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²=36，
而正四棱锥的高为h=6+x，
故正四棱锥体积为：
V（x）=$\frac{1}{3}$a²h=$\frac{1}{3}$（72-2x²）（6+x）=$\frac{1}{3}$（12-2x）（6+x）（6+x）
≤$\frac{1}{3}$×（$\frac{12-2x+6+x+6+x}{3}$）³=$\frac{512}{3}$，
当且仅当x=2时，等号成立，
那么正四棱锥的底面边长为8．
故选：C．

点评 本题主要考查了球内接多面体、棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．