Question

11．求证：函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$，x∈（-∞，0）是增函数．

Answer 1

分析 利用取值、作差、变形、判断符号、下结论这五步进行证明，主要利用通分和提取公因式进行变形．

解答 设任意的x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（1+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）•$\frac{{{x}_{1}x}_{2}+1}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁＜0，x₂＜0，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数．

点评 本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用定义法和导数法是解决函数单调性的基本方法．要求熟练掌握常见证明函数单调性的方法．属于基础题．