Question

19．已知不等式2^x+3^x+a•4^x＞0对一切（1，2）上的实数均成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得-a＜（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{3}{4}$）^x对一切（1，2）上的实数均成立，由f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{3}{4}$）^x在（1，2）上递减，可得f（x）的值域，进而得到a的范围．

解答 解：不等式2^x+3^x+a•4^x＞0对一切（1，2）上的实数均成立，
即为-a＜（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{3}{4}$）^x对一切（1，2）上的实数均成立，
由f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{3}{4}$）^x在（1，2）上递减，
则f（x）的值域为（$\frac{13}{16}$，$\frac{5}{4}$），
即有-a≤$\frac{13}{16}$，解得a≥-$\frac{13}{16}$．
即实数a的取值范围是[-$\frac{13}{16}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，考查指数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．