Question

14．已知函数f（x）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}-1}{（\frac{1}{2}）^{x}+2}$．
（1）求f（x）的定义域，值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据分式函数的性质即可求函数的定义域和值域，
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（3）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上单调递减．

解答 解：（1）∵（$\frac{1}{2}$）^x+2＞0恒成立，
∴f（x）的定义域为（-∞，+∞），
由f（x）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}-1}{（\frac{1}{2}）^{x}+2}$=$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}+2-3}{（\frac{1}{2}）^{x}+2}$=1-$\frac{3}{（\frac{1}{2}）^{x}+2}$．
∵（$\frac{1}{2}$）^x+2＞2，
∴0＜$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{x}+2}$＜$\frac{1}{2}$，
则-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{x}+2}$＜0，
-$\frac{3}{2}$＜-$\frac{3}{（\frac{1}{2}）^{x}+2}$＜0．
-$\frac{1}{2}$＜1-$\frac{3}{（\frac{1}{2}）^{x}+2}$＜1．
即-$\frac{1}{2}$＜f（x）＜1．
则函数f（x）的值域为（-$\frac{1}{2}$，1）；
（2）∵f（1）=$\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+2}$=$-\frac{1}{3}$，f（-1）=$\frac{2-1}{2+2}=\frac{1}{4}$，
∴f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1），
即f（x）为非奇非偶函数；
（3）f（x）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}-1}{（\frac{1}{2}）^{x}+2}$=$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}+2-3}{（\frac{1}{2}）^{x}+2}$=1-$\frac{3}{（\frac{1}{2}）^{x}+2}$．
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{3}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}+2}$-1+$\frac{3}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}+2}$=$\frac{3}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}+2}$-$\frac{3}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}+2}$=$\frac{3[（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}-（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}]}{[（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}+2][（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}+2]}$，
∵x₁＜x₂，
∴$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$＞$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}$，即$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$-$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}$＞0，
则f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在定义域上单调递减．

点评 本题主要考查函数定义域，值域，以及奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．