Question

4．已知函数f（x）对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1成立，且当x＞0时f（x）＞1恒成立，则f（0）=1；比较f（-2），f（π），f（1）的大小f（-2）＜f（1）＜f（π）．（用＜号连接）

Answer 1

分析 根据题意证出f（0）=1，进而证出F（x）=f（x）-1为奇函数．利用函数单调性的定义，结合题中的条件证出  F（x）=f（x）-1是R上的增函数，因此y=f（x）也是R上的增函数，问题得以解决．

解答 解：由题意，可得
令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-1，可得f（0）=1，
令x=-x，y=x，则f[（-x）+x]=f（-x）+f（x）-1=1，
∴化简得：[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0，
∴记F（x）=f（x）-1，可得F（-x）=-F（x），即F（x）为奇函数．
任取x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，
F（x₁）-F（x₂）=F（x₁）+F（-x₂）=[f（x₁）-1]+[f（-x₂）-1]
=[f（x₁）+f（-x₂）-2]=[f（x₁-x₂）-1]=F（x₁-x₂）
∵当x＞0时f（x）＞1，可得x＞0时，F（x）=f（x）-1＞0，
∴由x₁-x₂＞0，得F（x₁-x₂）＞0，即F（x₁）＞F（x₂）．
∴F（x）=f（x）-1是R上的增函数，
因此函数y=f（x）也是R上的增函数，
∴f（-2）＜f（1）＜f（π）．
故答案为：1，f（-2）＜f（1）＜f（π）．

点评 本题给出抽象函数满足的条件，着重考查了函数的简单性质及其应用，属于中档题．