Question

12．P为△ABC所在平面上一点，且满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），则P的轨迹过△ABC的垂心．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），得$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），两边同乘以向量$\overrightarrow{BC}$，利用向量的数量积运算可求得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=0，从而得到结论．

解答 解：由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），得$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），
两边同乘以向量$\overrightarrow{BC}$，得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）$•\overrightarrow{BC}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）
=λ（$\frac{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|cos（-B）}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BC}|cosC}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）=λ（-$|\overrightarrow{BC}|+|\overrightarrow{BC}|$）=0．
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，即点P在在BC边的高线上，
∴P的轨迹过△ABC的垂心．
故答案为：垂．

点评 本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．