Question

2．已知{a_n}是一个单调递增的等差数列，且满足a₂a₄=21，a₁+a₅=10，数列{b_n}满足${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题知d＞0．
由2a₃=a₁+a₅=10，又可得a₃=5．
由a₂a₄=21，得（5-d）（5+d）=21，可得d=2．
∴a₁=a₃-2d=1．可得a_n=2n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}=\frac{2n-1}{2^n}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$，①
∴$\frac{1}{2}{T_n}$=$\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，②
①-②得，$\frac{1}{2}{T_n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+…+\frac{2}{2^n}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$
=$\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}$，
∴T_n=$3-\frac{2n+3}{2^n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．