Question

7．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k＜85时，产品为二级品；当70≤k＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）
A配方的频数分布表                             B配方的频数分布表

指标值分组	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）		指标值分组	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[75，80）
频数	10	30	40	20		频数	5	10	15	40	30

（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；
（2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：y=$\left\{\begin{array}{l}{t，k≥85}\\{5{t}^{2}，75≤k＜85}\\{{t}^{2}，70≤k＜75}\end{array}\right.$（其中$\frac{1}{7}$＜t＜$\frac{1}{6}$），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？

Answer 1

分析 （1）先求出P（抽中二级品）=$\frac{1}{4}$，由此能求出事件C的概率P（C）．
（2）分别求出A的分布列，E（A）和B的分布列E（B），由此能求出从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大．

解答 解：（1）P（抽中二级品）=$\frac{1}{4}$，P（没抽中二级品）=$\frac{3}{4}$，
P（C）=1-（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{37}{64}$．
（2）A的分布列为：

y	t	5t2
P	0.6	0.4

∴E（A）=0.6t+2t²
B的分布列为：

y	t	5t2	t2
P	0.7	0.25	0.05

∴E（B）=0.7t+1.3t²
∵$\frac{1}{7}$＜t＜$\frac{1}{6}$，
∴E（A）-E（B）=$\frac{7}{10}$t（t-$\frac{1}{7}$）＞0，
∴E（A）较大，投资A．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．